sin^2(a)+cos^2(a)=1; |Sin Cos Tg
tg(a)=sin(a)/cos(a); |++ -+ -+
tg(a)ctg(a)=1; |-- -+ +-
1+tg^2(a)=1/cos^2(a); |
1+ctg^2(a)=1/sin^2(a); |sin(p/2+-a)=cos(a);
|sin(p+-a)=-+sin(a);
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+cos(a)sin(b); |sin(3p/2+-a)=-cos(a);
sin(a-b)=sin(a)cos(b)-cos(a)sin(b); |sin(2p+-a)=+-sin(a);
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b); |
cos(a-b)=cos(a)cos(b)+sin(a)sin(b); |cos(p/2+-a)=+-sin(a);
tg(a+b)=tg(a)+tg(b)/1-tg(a)tg(b); |cos(p+-a)=-cos(a);
tg(a-b)=tg(a)-tg(b)/1-tg(a)tg(b); |cos(3p/2+-a)=+-sin(a);
ctg(a+b)=ctg(a)ctg(b)-1/ctg(a)+ctg(b); |cos(2p+-a)=cos(a);
ctg(a-b)=ctg(a)ctg(b)+1/ctg(b)-ctg(a); |
|tg(p/2+-a)=-+ctg(a)
sin(2a)=2sin(a)cos(a); |tg(p+-a)=+-tg(a)
cos(2a)=cos^2(a)-sin^2(b)=1-2sin^2(a); |tg(3p/2+-a)=-+ctg(a)
tg(2a)=2tg(a)/1-tg^2(a); |tg(2p+-a)=+-tg(a)
ctg(2a)=ctg^2(a)-1/2ctg(a); |
sin(3a)=3sin(a)-4sin^3(a); |ctg(p/2+-a)=-+tg(a)
tg(3a)=3tg(a)-tg^3(a)/1-3tg^2(a); |ctg(p+-a)=+-ctg(a)
ctg(3a)=3ctg(a)-ctg^3(a)/1-3ctg^2(a); |ctg(3p/2+-a)=-+tg(a)
|ctg(2p+-a)=+-ctg(a)
sin^2(a/2)=1-cos(a)/2; |
cos^2(a/2)=1+cos(a)/2; |
tg^2(a/2)=1-cos(a)/1+cos(a); |
ctg^2(a/2)=1+cos(a)/1-cos(a); |
tg(a/2)=sin(a)/1+cos(a)=1-cos(a)/sin(a); |
ctg(a/2)=sin(a)/1-cos(a)=1+cos(a)/sin(a);|
|
sin(a)+sin(b)=2sin(a+b/2)cos(a-b/2); |
sin(a)-sin(b)=2sin(a-b/2)cos(a+b/2); |
cos(a)+cos(b)=2cos(a+b/2)cos(a-b/2); |
cos(a)-cos(b)=-2cos(a+b/2)cos(a-b/2)= |
=2cos(a+b/2)cos(b-a/2); |
cos(a)+sin(b)=sqrt(2)cos(45-a); |
cos(a)-sin(b)=sqrt(2)sin(45-a); |
tg(a)+tg(b)=sin(a+b)/cos(a)cos(b); |
tg(a)-tg(b)=sin(a-b)/cos(a)cos(b); |
ctg(a)+ctg(b)=sin(a+b)/sin(a)sin(b); |
ctg(a)-ctg(b)=sin(b-a)/sin(a)sin(b); |
tg(a)+ctg(b)=cos(a-b)/cos(a)sin(b); |
tg(a)-ctg(b)=-cos(a+b)/cos(a)sin(b); |
tg(a)+ctg(a)=2/sin(2a); |
tg(a)-ctg(a)=-2ctg(2a); |
|
sin(a)sin(b)=1/2(cos(a-b)-cos(a+b)); |
cos(a)cos(b)=1/2(cos(a+b)+cos(a-b)); |
sin(a)cos(b)=1/2(sin(a+b)+sin(a-b)); |
|
sin(a)=2tg(a/2)/1+tg^2(a/2); |
cos(a)=1-tg^2(a/2)/1+tg^2(a/2); |
tg(a)=2tg(a/2)/1-tg^2(a/2); |
ctg(a)=1-tg^2(a/2)/2tg(a/2); |
1. a+b=b+a Переместительный закон сложения Є
Є2. (a+b)+c=a+(b+c) Сочетательный закон сложения Є
Є3. ab=ba Переместительный закон умноженияЄ
Є4. (ab)c=a(bc)=b(ac) Сочетательный закон умножения Є
Є5. (a+b)c=ac+bc Распределительный закон Є
Є6. Если a=b, то a+c=b+c Є
Є7. Если a=b и c-0 то ac=bc Є
L-------------------------------------------------------------
Законы вычитания и деления
-------------------------------------------------------------«
Є1. Если a-b=c, то a=b+c Определение разности Є
Є2. a-b=a+(-b) Замена вычитания сложением Є
Є3. a-(b-c)=a-b+c Правило раскрытия скобок Є
Є4. Ести a:b=c, то a=bc Определение частного Є
Є5. Если a=b, то a-c=b-c Є
Є6. Если a=b и c-0, то a:c=b:c Є
L-------------------------------------------------------------
Особые случаи арифметических операций
-------------------------------------------------------------«
Є1. a+0=0+a=a Прибавление нуля Є
Є2. a&1=1&a=a Умножение на единицу Є
Є3. a&0=0&a=0 Умножение на нуль Є
Є4. 0:a=0 (a-0) Деление нуля Є
L-------------------------------------------------------------
Свойста дробей
-------------------------------------------------------------«
Є1. Если a _ c, то ad=bc(b-0,d-0) Равенство дробей Є
Є b d Є
Є2. a _ am, (m-0) Основное свойство дроби Є
Є b bm Є
Є3. a c _ ad+bc Правило сложения дроби Є
Є b d bd Є
Є4. a c _ ad-bc Правило вычитания дробей Є
Є b d bd Є
Є5. a c _ ac Правило умножения дроби Є
Є b d bd Є
Є6. a c _ ad Правило деления дробей Є
Є b d bc Є
L-------------------------------------------------------------
Тождества сокращенного умножения
-------------------------------------------------------------«
Є1. a2-b2=(a+b)(a-b) Разность квадратов Є
Є2. (a+b)2=a2+2ab+b2 Квадрат суммы Є
Є3. (a-b)2=a2-2ab+b2 Квадрат разности Є
Є4. (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 Куб сумы Є
Є5. (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3 Куб разности Є
Є6. a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) Сумма кубов Є
Є7. a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2) Разность кубов Є
L-------------------------------------------------------------
АРИФМЕТИЧЕСКИЙ КОРЕНЬ
--------------------------------------------------------------«
Є n|\ Є
Є1. Если ?a = b, то a=bn (a.0, b.0) Определение Є
Є (n|\ )n Є
Є2. 2? a 2 = a (a.0) Основное свойство корня Є
Є 9 0 Є
Є3. m|\ m|\ Є
Є ?-a = -? a (m=2n-1,a.0 Корень нечетной четверти Є
Є Є
Є4. n|\\ n|\ n|\ Извлечение корня из Є
Є ? ab = ? a & ? b (a.0, b.0) произведения Є
Є Є
Є5. n |\ n|\ Є
Є / a _ ? a (a.0, b>0) Извлечение корня из Є
Є ? b n|\ частного Є
Є ? b Є
Є Є
Є6. n|\\\\\ n|\\ Є
Є ? anp+q = ap? aq (a.0) Вынесение рационального Є
Є множителя Є
Є n|\\\ Є
Є7. / m|\ = nm|\ Извлечение корня из корняЄ
Є ? ? a ? a (a.0) Є
L--------------------------------------------------------------
СТЕПЕНИ
--------------------------------------------------------------«
Є 1. аn = a*a ........ a Cтепень с натуральным показателем Є
Є 2. а0 = 1 (а - 0) Степень с нулевым показателем Є
Є 3. а1 = а Степень с показателем единица Є
Є 4. а-n = 1/аn (а - 0) Степень с отрицательным показателемЄ
Є p|\\ Є
Є 5. аp/q=?aq (a > 0) Cтепень с дробным показателем Є
Є 6. аn * am = an+m Умножение степени Є
Є 7. аn : am = an-m Деление степени Є
Є 8. (а*b)n = аn * bn Степень произведения Є
Є 9. (а:b)n = аn : bn Степень частного Є
Є 10. (аn)m = аnm Степень степени Є
L--------------------------------------------------------------
ЛОГАРИФМЫ
----------------T--------------------------T---------------«
Є Основное Є logax Є x>0; a>0; a-1 Є
ЄлогарифмическоеЄ a = x Є Є
Є тождество Є Є Є
+---------------+--------------------------+---------------+
Є Логарифм Єlogaxy = logax + logay Є x>0; y>0 Є
Є произведения +--------------------------+---------------+
Є Єlogaxy=loga|x| + loga|y| Є xy>0 Є
+---------------+--------------------------+---------------+
Є Логарифм Є x _ Є Є
Є частного Єloga y logax - logay Є x>0; y>0 Є
Є +--------------------------+---------------+
Є Є x _ Є Є
Є Єloga y loga|x| - loga|y|Є xy>0 Є
+---------------+--------------------------+---------------+
Є Логарифм Єlogaxn = n(logax) Є x>0 Є
Є степени +--------------------------+---------------+
Є Єlogax2n = 2n(log|x|) Є x-0 Є
+---------------+--------------------------+---------------+
Є Переход к Є _ logbx Є Є
Є допустимому Єlogax logba Є b>0; b-1 Є
Є основанию Є Є Є
L---------------+--------------------------+----------------
------T---T---T---T---T---T---T---T---T---T---T---T---T---T---T---T---T---«
Є a Є Є p Є p Є p Є p Є2 pЄ3 pЄ5 pЄ p Є7 pЄ5 pЄ4 pЄ3 pЄ5 pЄ7 pЄ11pЄ2 pЄ
Є Є 0 Є 6 Є 4 Є 3 Є 2 Є 3 Є 4 Є 6 Є Є 6 Є 4 Є 3 Є 2 Є 3 Є 4 Є 6 Є Є
+-----+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
Є Є Є 1 Є?2 Є?3 Є Є ?3Є?2 Є 1 Є Є-1 Є-?2Є-?3Є Є-?3Є-?2Є-1 Є Є
Єsin aЄ 0 Є 2 Є2 Є2 Є 1 Є 2 Є2 Є 2 Є 0 Є 2 Є 2 Є 2 Є-1 Є 2 Є 2 Є 2 Є 0 Є
+-----+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
Є Є Є?3 Є?2 Є 1 Є Є-1 Є-?2Є-?3Є Є-?3Є-?2Є-1 Є Є 1 Є?2 Є?3 Є Є
Єcos aЄ 1 Є2 Є2 Є 2 Є 0 Є 2 Є 2 Є 2 Є-1 Є 2 Є 2 Є 2 Є 0 Є 2 Є 2 Є 2 Є 1 Є
+-----+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
Є Є Є 1 Є Є Є Є Є Є-1 Є Є 1 Є Є Є Є Є Є-1 Є Є
Єtg a Є 0 Є?3 Є 1 Є?3 Є - Є-?3Є-1 Є ?3Є 0 Є ?3Є 1 Є?3 Є - Є-?3Є-1 Є?3 Є 0 Є
+-----+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+
Є Є Є Є Є 1 Є Є-1 Є Є Є Є Є Є 1 Є Є-1 Є Є Є Є
Єctg aЄ - Є?3 Є 1 Є ?3Є 0 Є ?3Є-1 Є-?3Є - Є ?3Є 1 Є ?3Є 0 Є?3 Є-1 Є-?3Є - Є
L-----+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+---+----
Таблица частных случаев для тригонометрических уравнений.
-----\------T-----------T------------T-----------T-------------T
Є \ A Є 0 Є 1 Є -1 Є 1 Є
Є \ Є Є Є Є 2 Є
Є-------\---Є-----------Є------------+-----------+-------------+
Єcos x = a Є p Є Є Є p Є
Є Єx= 2 + p*n Є x = 2 p*n Єx = p + p*nЄx= + 3 +2p*n Є
Є-----------Є-----------Є------------+-----------+-------------+
Є Є Є p Є p Є k p Є
Єsin x = a Є x = p*n Єx = 2 +2 p*nЄx= -2 +2p*nЄx=(-1) *6+2pnЄ
Є Є Є Є Є Є
+-----------Є-----------Є------------+-----------+-------------+
Є Є Є p Є p Є 1 Є
Єtg x = a Є x = 2 p*n Єx = 4 + p*n Єx= -4 +p*n Єx=arccos 2+pnЄ
Є Є Є Є Є Є
+-----------+-----------+------------+-----------+-------------+
Є Є p Є p Є 3p Є 1 Є
Єctg x = a Єx = 2 + p*nЄx = 4 + p*n Єx=-4 + p*n Єx=arccos2 +pnЄ
Є Є Є Є Є Є
L-----------+-----------+------------+-----------+--------------
Основные формулы тригонометрии
----линия отрыва---T---------------T------------«
Є sin2a + cos2a=1 Є sina Єa - альфа Є
Є tga * ctga=1 Є tga=cosa Єb - бэта Є
Є 1 Є cosa Єf - гамма Є
Є 1+ctg2a=sin2a Є ctga=sina Єp - пи Є
Є 1 Є Єy - игрек Є
Є 1+tg2a=cos2a Є Єx - икс Є
+------------------+---------------+------------+
Єsin2a=2sina*cosa Є формулы сложения Є
Є Єcos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinbЄ
Єcos2a=cos2a-sin2a=Єcos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinbЄ
Є=1-2sin2a=2cos2a-1Єsin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinbЄ
Є Єsin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinbЄ
+------------------+----------------------------+
Є 2*tga Є tga+tgb Є
Єtg2a=1-tg2a Є tg(a+b)=1-tga*tgb Є
Є a sina 1-cosaЄ Є
Єtg2 =1+cosa=sina Є tga-tgb Є
Є Є tg(a-b)=1+tga*tgb Є
+------------------+----------T-----------------+
Є a+b a+b Є a 1-cosa Є
Єcosa+cosb = 2cos 2 * cos 2 Єsin2 2 = 2 Є
Є a+b a-bЄ Є
Єcosa-cosb = -2sin 2 * sin 2 Є a 1+cosa Є
Є a+b a-b Єcos2 2 = 2 Є
Єsina+sinb = 2sin 2 * cos 2 Є Є
Є a-b a+bЄ Є
Єsina-sinb = 2sin 2 * cos 2 Є Є
L-----------------------------+------------------
Т.Сумма смежных углов = 180ў
Т.Вертикальные углы равны (общая вершина,стороны одного сост.продолжение сторон друг.)
Две прямые наз-ся параллельн., если они лежат в 1-й плоскости и не пересекаются.
Акс. (осн.св-во паралл.прямых) Через точку, не леж. на данной прямой можно провести на плоскости только 1 прямую, параллельную данной.
Сл.: 1. Если прямая пересекает 1 из паралл. Прямых, то перес-ет и другую.
2. Если две прямые | | 3-ей, то | | друг другу.
Признаки параллельности прямых. Е
А В В А А В
С Д Д
Д С С
п ВАС п ДСА внутр. одностор. (1рис)
п ВАС п ДСА внутр. накрест лежащ. (2)
п ЕАВ п АСД соответств. (3)
Т 1. Если при пересеч. 2-х прямых на плоскости внутр.накрест лежащ. п =, то прямые параллельны.
Т 2. Если при пересеч 2-х прямх секущей соответственные углы равны,П прямые| |.
Док-во Пусть (а) и (b) обр-т к секущей АВ равные соотв. п 1=п 2
Но п 1=п 3 (вертикальные)П п 3=п 2.Но п 2 и п 3-накрестлежщие.П По Т 1 a | | bn
Т3. Если при пересеч. 2-х прямых секущей на плоскости, сумма внутр. одност. п =180ў , то прямые | |n
Для ТТ 1-3 есть обратыные.
Т4. Если 2 паралл.прямые пересечны 3-й
прямой, то внутр.накрестлеащие п =, со-
ответств.п =, сумма внутр.одностп =180ў .
Перпедикулярные пр-е пересек-ся п 90ў .
1.Через кажд.тчку прямой можно провести ^ ей прямую, и только 1.
2. Из любой тчки (о данной прямой) можно опустить перпендикуляр^ на данную прямцю и только 1.
3. две прямые ^ 3-й параллельны.
4. Если прямая ^ 1-й из | | прямых, то она ^ и другой.
Многоугольник (n-угольник)
Т. Любой правильный выпуклый мн-к можно вписать в окружность и описать около окружности. (R- опис., r- впис.)
R = a / 2sin(180ў /n); r = a / 2 tg (180ў )
Треугольник NB! 1. Все 3 высоты каждогоя пересек. в 1 тчке (ортоцентр).
2. Все 3 медианы пересек. в 1 тчке (центр тяжести) - делит кажд. Медиану в отн 2:1 (счит. От вершины).
3. Все 3 биссектр. я пересек. в 1 тчке -
центр впис. Круга.
4. Все 3 ^ , восстановленные из середин сторон я , пересе. в 1 тчке - центр опис. круга.
5. Средняя линия | | и = і основания
H(опущ. на стор. a) = 2v p(p-a)(p-b)(p-c)
a
M(опущ на стор a) = і v 2b2+2c2 -a2
B (-`'-)= 2v bcp(p-a) / b+c
p - полупериметр
a" =b" +c" -2bx, х-проекция 1-й из сторон
Признаки равенства я : 2я =, если = сотв.
1. 2 стороны и п между ними.
2. 2 п и сторона между ними.
3. 2 п и сторона, противолеж. 1-му из п
4. три стороны
5. 2 стороны и п , лежащий против большей из них.
Прямоугольный я C=90ў a" +b" =c"
NB! TgA= a/b; tgB =b/a;
sinA=cosB=a/c; sinB=cosA=b/c
Равносторонний я H= v 3 * a/2
S я = і h a =і a b sin C
Параллелограмм
d" +d`" =2a" + 2b"
S =h a=a b sinA(между а и b)
= і d d` sinB (между d d`)
Трапеция S= (a+b) h/2 =і uvsinZ= Mh
Ромб S=a h =a" sinA= і d d`
Окружность L= p Rnў / 180ў ,nў -центрп
Т.Впис.п = і L , L-дуга,на ктрую опирп
S(cектора)= і R" a = p R" nў / 360ў
Векторы.. Скалярное произведение
` а` b=|` a| |` b| cos (` a ы ` b),
|` a| |` b| - длина векторов
Скалярное произведение |` a|{ x`; y`} и |` b|{ x``; y``} , заданных своими коорди-натами, =
|` a| |` b| = x` в y` + x`` в y``
Преобразование фигур
1. Центр. Симметрия
2. Осевая симметрия (^ )
3. Симм. Отн-но плоскости (^ )
4. Гомотетия (точки Х О Х`` лежат на 1 прямой и расст. ОХ``=k OX, k> 0 - это гомотетия отн-но О с коэфф. К .
5. Движение (сохр расст. Между точками фигуры)
6. Поворот
7. Вращение - вокруг оси - преобр. Пространства, когда:
- все точки оси переходят сами в себя
- любая точка Ао оси р АП А` так, что
А и А` н a , a ^ р, п АОА` = j = const, О- точка пересеч. a и р.
Результвт 2-х движений= композиции.
8. Паралeн.перенос (x,y,z)П (x+a,y=b,x=c)
9. Преобразование подобюием - расст. Между тчками измен-ся в k раз
К=1 - движение.
Св-ва подобия.
1. АВСн (а); A`B`C` н (a`)
2. (p) П (p`); [p)П [p`); a П a `; п AП п A`
3. Не всякое подобие- гомотетия
NB! S` = k" S``; V ` = k 3 V ``
Плоскости.
Т. Если прямая, о к.-л. плоскости a , | | к.-л. прямой, н a , то она | | a
Т. (а) | | (b), через (а)и (b) провести плоскость, то линия их пересеч.| | (а)и (b)
T. (Признак парал. 2-х плоск.).Если 2 пересек. прямые 1-й a | | двум пересек. прямым другой b , то a | | b .
Т. Если 2 парал. Плоск-ти пересеч. 3-й, то линии пересечения | |.
Т. Через тчку вне плоскости можно провести плоск-ть | | данной и только 1.
Т. Отрезки парал. Прямых, заключенные между 2-мя плоскостями, =.
Т. Признак ^ прямой и пл-сти.Если прямая, перек-ая плос-ть, ^ каждой из 2-х перек-ся прямых, то прямая и пл-сть ^ .
Т. 2 ^ к пл-сти | |.
Т. Если 1 из 2-х паралл. прямых ^ , то и другая ^ плоскости.
Т. Признак ^ 2-х плос-тей. Если пл-сть проходит через ^ к др. п-сти, то он ^ этой л-сти.
Дано [a)^ b ,[a) н a ,a х b = (p).Д-ть: a ^ b
Док-во. [a)^ b =Ј М. Проведем (b) через М, (b)^ (p). (a)ы (b) - линейный п двугранного угла между a и b . Так как [a)^ b П (a)^ (b)П (a)ы (b)=90ў П a ^ b n
Т. Если 2 пл-сти взаимно ^ , то прямая
1-й пл-сти ^ линии пересеч. пл-стей, ^ 2-й пл-сти.
Т. О 3-х ^ .. Для того, чтобы прямая, леж-я в пл-сти,, была ^ наклонной, необх-мо и достаточно, чтобы эта прямая была ^ проекции наклонной.
Многогранники
Призма. V = S осн в a - прямая призма
a - боковое ребро , S пс- S ^ -го сечения
V = S пс в а - наклонная призма
V = Sбок. пов-сти призмы + 2Sосн.
Если основание пр. = параллелограмм, то эта призма - параллелепипед.
V=h Sосн. ; Vпрямоуг.параллел-да = abc
S=2(ab+ac+bc)
Пирамида V= 1/3 * НS осн. S=S всех я .
Фигуры вращения
Цилиндр V=p R" H; S= 2p R (R+H)
Конус V= 1/3 * НS осн= 1/3 * p R" H
S= Sосн+ Sбок= p R (r + L); L-образующая
Сфера "оболочка" S= 4p R"
Шар М= 4/3 p R3